dissabte, 22 d’abril del 2017

Sessió de treball. Pistes i Trucs.


Una vegada apreses, o açò espere, les fórmules de les àrees i els volums, hem de practicar-les. Us deixe un full amb 10 exercicis per a repassar-les. Ho trobareu a la carpeta de “Documents” o fent clic ací.

Donaré unes idees i un parell de trucs per a resoldre alguns problemes.
  • Comenceu amb un dibuix per a reconéixer la figura plana o el cos geomètric. Després, identifiqueu les diferents parts: alçada, amplitud, base, apotema, radi o diagonal. Poseu les mides dels costats donats i una interrogació en els que no tingueu o necessiteu.
  • Si heu de calcular l’àrea d’un cos geomètric, és una bona idea començar amb el desenvolupament pla del cos. Primer, dibuixeu els laterals tots seguits (imagineu que li doneu voltes sempre en el mateix sentit i aneu dibuixant la cara que vegeu), i finalment, dibuixeu “les tapes” o les bases: una sota i una altra damunt (si és un prisma o un cilindre) o només la de sota (si és una piràmide o un con).

  • Recordeu que han de coincidir els costats que estaven junts (mira el cercle roig). 

  • L’esfera no té desenvolupament pla.
  • Si el problema us demana un costat en lloc de l’àrea o el volum, i us donen la mida de l’àrea o el volum, podeu usar la seua fórmula per a aconseguir una equació i aïllar una incògnita.
  • De vegades, haureu d’utilitzar el Teorema de Pitàgores. Fixeu-vos si al vostre dibuix apareix un triangle rectangle que té dos costats coneguts i l’altre no.
Molta sort i pregunteu-me si teniu dubtes.

Àrees i Volums


Hi ha fa més de 15 anys, vaig preparar un full amb totes les fórmules de les àrees i els volums de les figures planes i dels cossos geomètrics perquè no m’agradava haver de cercar-les cada vegada que les necessitava. Sempre tenia un llibre on fer la cerca, però haver de passar els fulls cap a davant i cap arrere per a localitzar les unes i les altres era bastant tediós.

Per això, us deixe a la part de “Documents”, dintre de la carpeta, un arxiu PDF. També ho podeu descarregar prement en el següent enllaç: Àrees i Volums.

Haureu de tindre en compte el significat de cadascuna de les lletres que apareixen. De res servix aprendre’s les fórmules si no sabem que volen dir. Agafem com exemple el romboide:

Apareix a la fórmula la lletra "h". Aquesta lletra fa referència a la alçada de la figura. No n'és la hipotenusa ni qualsevol altra cosa. També hem de saber que la lletra "A" és l'àrea de la figura i la "B" es la mesura de la base. El dibuix t'ajudarà a entendre millor les fórmules.

Per acabar, com tot no pot ser tan fàcil, haure de cercar una àrea més: l'àrea del segment circular.
També haureu d'identificar almenys 4 figures planes o cossos geomètrics d'una foto de la Seu de València. Molta sort!

dimecres, 19 d’abril del 2017

Sòlids platònics i Documents



He incorporat una secció anomenada “Documents”. Dins d’aquesta secció, vereu la imatge d’una carpeta. Si la premeu, accedireu a una carpeta meua de Google Drive on podreu trobar diferents arxius, com presentacions, activitats, vídeos i altres materials didàctics.

Entre tot aquest material, hi ha un arxiu PDF que he elaborat jo mateix. Es tracta dels desenvolupaments plans dels sòlids platònics. Què són els sòlids platònics? Doncs són els poliedres convexs que tenen totes les seues cares formades per polígons regulars i iguals, i també tenen els seus angles iguals. Només hi ha 5 i són: el tetraedre, el cub, el octàedre, el dodecaedre i el icosàedre. Sota aquestes línies podeu veure'ls

Platonic solids
Què és un desenvolupament pla? És la forma d'un poliedre quan volem vore'l en un plànol bidimensional. 
L’activitat que haureu de fer consisteix a:
  1. Descarregar l’arxiu anomenat “sòlid platònics.pdf” i imprimir-ho.
  2. Després, amb unes tisores, retallareu els contorns dels desenvolupaments plans dels cossos geomètrics, doblegareu les arestes i les pestanyes.
  3. Amb cola, untareu les pestanyes i pegareu les cares i les pestanyes fins a muntar els poliedres.
  4. Utilitzeu-los per a comprovar la fórmula d’Euler (C + V = A + 2) que vam explicar al post d’ahir.

Podeu descarregar un vídeo per a veure com es fa prement ací.

Fórmula d'Euler


Fa uns dies, el 15 d’abril, es va celebrar el 310 aniversari del naixement de Leonhard Euler, matemàtic suís considerat com el més important del segle XVIII i amb més aportacions al món de les matemàtiques. La seua fórmula més famosa la podem trobar a la capçalera d’aquest blog. 
Però per a la nostra unitat didàctica, farem ús d’una altra més senzilla i també molt útil. Em refereix a la fórmula per a poliedres. Aquesta fórmula estableix una relació entre les cares, els vèrtexs i les arestes de qualsevol poliedre convex. Però repassem primer un parell de conceptes.
Què és un poliedre convex? És un poliedre que compleix la següent propietat: si unim amb un segment dos punts qualsevol del poliedre, aleshores aquest segment està contingut en el poliedre.
Great dodecahedron Icosahedron
Poliedre còncauPoliedre convex
Dit d'una manera més col·loquial, si té mossegades cap a dintre, és còncau, i si no, és convex.
Per si aneu despistats, recordarem també què és una aresta, un vèrtex i una cara.
Ara ja que ho tenim tot clar, vegem la fórmula:              C + V = A + 2
És a dir, el nombre de cares més el nombre de vèrtexs és igual al nombre d'arestes més 2. Podem comprovar com és vàlida per qualsevol poliedre convex. El cub de la imatge anterior té 6 cares, 8 vèrtexs i 12 arestes:
6 + 8 = 12 + 2        Es compleix!
També la pots utilitzar per a esbrinar quantes arestes (vèrtexs o cares) té un cos.

Icosahedron Cares = 20; Vèrtexs = 12    ->  20 + 12 = A + 2 -> 32 = A + 2 -> A = 30 arestes.

Prova-ho tu amb els següents poliedres:
Three Dim Grid

divendres, 14 d’abril del 2017

Circumferència, el·lipse, paràbola i hipèrbola

Hi ha quatre corbes molt famoses que tots hem sentit parlar en alguna ocasió: la circumferència, l'el·lipse, la paràbola i la hipèrbola.
Però... Què tenen d'especial? Sabíeu que també se'ls crida "còniques"?
Supose que tothom coneixerà els cons...


Si ara agafem un plànol (imaginem-nos un full) i tallem aquest con de manera que el plànol siga paral·lel a la base del con, obtindrem una circumferència.
Si el plànol fa un tall inclinat, obtindrem una el·lipse.
Si el plànol talla al con de manera que també talla la base del con, aconseguim una paràbola.

Finalment, si el plànol talla perpendicularment al con, es té com a resultat la hipèrbola
Les diferents mesures dels cons (base i alçada) i les inclinacions dels plànols, donen com a resultat les diferents amplituds.

Podeu trobar més informació a la següent pàgina https://ca.wikipedia.org/wiki/C%C3%B2nica
A més, ací trobareu un videotutorial de com treballar amb GeoGebra i les còniques:

Espere que açò servisca per a conéixer millor el món de la Geometria. Feu-me arribar qualsevol
dubte i les vostres opinions.