Núvol de paraules

Ací teniu un núvol de paraules per a poder aprendre el vocabulari d'aquesta unitat. Podeu descarregar-lo amb resolució màxima en la carpeta de Documents.

La Barraca

Com ja sabeu, el nom d’aquest bloc és “La Barraca de Matemàtiques”. Però, sabeu que és una barraca? Supose que el dibuix de la capçalera del bloc us donarà una pista.

Una barraca és la típica casa que hi havia al món rural a Catalunya, la Comunitat Valenciana i la Regió de Múrcia. És una edificació molt senzilla, generalment de dues plantes, i amb el sostre molt inclinat. Per a construir-les s’utilitzava: fang, canyes, canyís i palla. Tenia cuina, menjador, magatzem (de vegades al pis superior) i dos dormitoris. Al pis de damunt normalment es criaven cucs de seda o s'assecava l'embotit o el peix.

Eren els habitatges dels treballadors del camp o dels pescadors. Hi havia diferències entre els dos models, però a l’Albufera eren molt semblants (una barreja dels dos tipus) perquè es dedicaven a les dues faenes.

La població amb més barraques actualment és El Palmar (un poblet de València). Si teniu ocasió, no dubteu en visitar-les.  

Per últim, vull que feu un exercici. Haureu de calcular quants metres cúbics (i quants litres) d’aire agafen dins de la nostra barraca. També haureu d’esbrinar quant costarà pintar les parets exteriors de la nostra barraca, si el litre de pintura costa 3€, i per cada litre es poden pintar 1,25 metres quadrats de paret.

Cossos de revolució

Els cossos de revolució són els cossos geomètrics formats al girar una figura plana al voltant d’un eix. Els tres més importants són: el con, l’esfera i el cilindre.

Per a obtenir el con, només hem de fer girar un triangle rectangle al voltant d’un dels seus catets.

De la mateixa manera podem obtenir el cilindre i l’esfera: el cilindre fent girar un rectangle al voltant d’un costat, i l’esfera girant un semicercle al voltant del seu diàmetre.

                       

                            
D'aquesta manera, podem fer girar qualsevol figura plana i aconseguir els més estranys cossos de revolució que pugueu imaginar. 

Els alfarers fan ús d'aquesta idea per fer els seus càntirs, pitxers, bols i altres peces. Com feien, per exemple, els excel·lents treballadors que hi havia a Manises (des del segle XIV), a Paterna (des del segle XIII) o a l'Alcora (on es trobava la Real Fàbrica de Pisa i Porcellana).

Si voleu veure com quedarà qualsevol figura plana que us inventeu al fer-la girar, seguiu els següents passos:

• Dibuixeu l'eix pegat a un costat de la teua figura.
• Fes el simètric a l'altre costat de l'eix.
• Dibuixa el·lipses que unisquen els vèrtexs simètrics.
• Acoloriu les noves parts aparegudes, i esborreu els trossos de les el·lipses que deurien anar per darrere del cos.

Proveu-ne i veureu que aconseguiu...

Àrees més complexes

No és gens normal que les àrees i volums que haurem de calcular en la vida real siguen de figures planes perfectes, sinó que tindran formes estranyes. Què hem de fer en aquests casos?

Suposem que hem d’esbrinar l’àrea de la següent figura: 

Per a simplificar la tasca, podem dividir la figura en altres més senzilles que ens permeten utilitzar les fórmules que coneixem. Per exemple:

 

Així doncs, per a trobar l’àrea de tota la figura, hem de calcular les àrees del semicercle, el triangle i el rectangle. Després, hem de sumar-ho tot i ja tindrem la mida buscada.

Però no sempre haurem de sumar les parts. Fixeu-vos en la següent figura:

Si tallem el triangle que sobreïx per a dalt, ho peguem en el buit de la mateixa forma que hi ha sota, i fem el mateix amb el quadrat de la dreta, i ho peguem en el buit de l'esquerra, observarem que obtenim un rectangle perfecte. Per tant, podem calcular l'àrea usant directament la fórmula per al rectangle. 

També hi ha altres possibilitats:

En aquest dibuix, podem calcular l’àrea del cercle, la d’un hexàgon, la del triangle i la del rectangle. Després, només haurem de restar a l’àrea del cercle totes les altres àrees que es veuen i tindrem l’àrea acolorida.

Mesures a la Comunitat Valenciana

Relacionat amb aquesta unitat de geometria, tenim també les unitats de mesura. Recordem que les àrees es mesuren en metres quadrats (m²), o els seus múltiples o submúltiples; i que els volums utilitzen els metres cúbics (m³), els seus múltiples i submúltiples, i fins i tot el litre. No hem d’oblidar la relació entre els litres i els metres cúbics: 1 m³ = 1000 litres, o 1 dm³ = 1 litre.

Però vull mirar arrere en el temps i mostrar-vos antigues (algunes d’elles encara es fan servir hui entre la gent d’avançada edat) unitats de mesura que s’usaven a la Comunitat Valenciana.

Observa la següent graella d’equivalències:

UNITAT	METRES QUADRATS		UNITAT	LITRES
Braça	4,155482		Almud	4,1375
Fanecada	831,0964		Arrova	11,93
Jornal de terra	4804,1533		Azumbre	2,06
Pam quadrat	0,0513		Cànter	10,77
Ploma	41,7762		Mitgeta	0,6194
Quartó	207,7741		Vara cúbica	0,7437
Tafulla	1118
Vara quadrada	0,8208

Les correspondències han sigut obtingudes de la Real Ordre del 9 de desembre de 1852, per la qual es determinen les graelles de correspondències recíproques entre les pesos i mesures mètriques.

Com a tasca, haureu de fer un full de càlcul que faça les conversions automàticament. Es valorarà que a l'introduir una mida, apareguen les equivalències de les altres mesures immediatament.

Full de càlcul d'exemple

Ahir us vaig encomanar fer la tasca de crear un full de càlcul per a agilitzar les operacions de les àrees i volums. Per si de cas aneu un poc perduts, he començat a fer-ne un. Podeu accedir prement ací.

L'he fet amb moltes possibilitats, per a poder resoldre també problemes. Mireu la següent imatge:

Utilitzaré l'exemple del cercle per començar. Només podeu escriure a les cel·les B3, C5 i D7.

Fixeu-vos que en la zona roja (o rosa) l'hem dividida en tres parts: el radi, l'àrea i el perímetre. Si omplim la cel·la B3 amb un nombre per al radi, per exemple el 3, automàticament s'emplenaran les cel·les sota l'àrea i el perímetre amb els seus valors per al radi escrit. Si modifiquem el valor del radi, es modificaran automàticament els altres valors.

Però, i si tenim l'àrea i volem esbrinar el radi? Amb les cel·les grogues podem fer-ho. Omplim la cel·la C5 amb el valor de l'àrea, i s'emplenaran immediatament els valors del radi i el perímetre.

Si tenim el perímetre i volem conéixer el radi o l'àrea, omplirem la cel·la verda (D7).

Si agafem com exemple el triangle:

Hem d'omplir dos cel·les perquè funcione. En la zona roja, si omplim la base i l'alçada, apareixerà la mida de l'àrea.
Aquest full de càlcul té permisos d'edició per a poder afegir noves fórmules. Podeu copiar-ho al vostre Drive, treballar directament, etc. Jo només he fet les àrees de les figures planes (estan bloquejades perquè ningú puga canviar-les), però entre tots podem completar-ho. Animeu-vos a col·laborar!

Fent ús d'un full de càlcul

Quan ens posem a fer exercicis d'àrees i volums, molts d'ells són tots iguals: identificar cadascun dels costats i usar la fórmula. Amb una calculadora podem fer totes les comptes seguint l'ordre que ens dicta la fórmula, pero podem utilitzar l'ordinador per a simplificar la tasca.

Per això, hui aprendrem a fer servir els fulls de càlcul. Aquests en permetran automatitzar els càlculs i resoldre els exercicis molt més ràpidament. Jo faré servir el full de càlcul que tenim gratuïtament en el nostre compte de Gmail. Des del nostre Drive de Gmail, premem el botó NOU i farem clic en "Fulls de càlcul de Google" per a crear un arxiu nou (imatge 1).

Imatge 1

Imatge 2

Posa-li un nom (cercle roig en la imatge 2). L'àrea de treball es divideix en files (imatge 2, marcades en groc) i columnes (imatge 2, marcades en blau). Cadascuna de les caselles s'anomena "cel·la". Les cel·les es poden fer servir per a introduir paraules, dades o fórmules.

Escriurem les fórmules començant amb un signe de igual (=) seguit dels nombres que volem utilitzar o fent referència a una cel·la que conté un nombre. Per a fer referència a una cel·la, només hem de escriure la seua posició (la cel·la marcada a la imatge 2 és la A1).

Faré jo un exemple amb la fórmula de l'àrea del triangle:

Per a tenir-ho tot més clar i poder recordar-ho quan tornem a utilitzar el full, escriurem textos aclaridors.
En la cel·la A1 escriurem: Base.
La cel·la B1 la deixarem buida, perquè introduirem la mida de la base més tard.
En la cel·la A2 escriurem: Alçada.
La cel·la B2 també la deixarem buida, i serà on introduirem la alçada dels diferents triangles.
En la cel·la A3 escriurem: Àrea.

Per últim, la més important de totes, la B3, on introduirem la fórmula de l'àrea del triangle.
Això hem d'escriure: =B1*B2/2
D'aquesta manera, prendrà el valor de la cel·la B1, el multiplicarà pel valor de la cel·la B2 i dividirà el resultat entre 2.

Per a provar-ho, només hem d'escriure valors numèrics a les cel·les B1 i B2 i veurem com es calcula l'àrea en la cel·la B3. Canvia els valors de les cel·les B1 i B2, i canviarà el valor de l'àrea.

Com a tasca, has de fer tu el mateix amb totes les fórmules del full "Àrees i Volums".

Sessió de treball. Pistes i Trucs.

Una vegada apreses, o açò espere, les fórmules de les àrees i els volums, hem de practicar-les. Us deixe un full amb 10 exercicis per a repassar-les. Ho trobareu a la carpeta de “Documents” o fent clic ací.

Donaré unes idees i un parell de trucs per a resoldre alguns problemes.

• Comenceu amb un dibuix per a reconéixer la figura plana o el cos geomètric. Després, identifiqueu les diferents parts: alçada, amplitud, base, apotema, radi o diagonal. Poseu les mides dels costats donats i una interrogació en els que no tingueu o necessiteu.
• Si heu de calcular l’àrea d’un cos geomètric, és una bona idea començar amb el desenvolupament pla del cos. Primer, dibuixeu els laterals tots seguits (imagineu que li doneu voltes sempre en el mateix sentit i aneu dibuixant la cara que vegeu), i finalment, dibuixeu “les tapes” o les bases: una sota i una altra damunt (si és un prisma o un cilindre) o només la de sota (si és una piràmide o un con).

• Recordeu que han de coincidir els costats que estaven junts (mira el cercle roig). 
  

• L’esfera no té desenvolupament pla.
• Si el problema us demana un costat en lloc de l’àrea o el volum, i us donen la mida de l’àrea o el volum, podeu usar la seua fórmula per a aconseguir una equació i aïllar una incògnita.
• De vegades, haureu d’utilitzar el Teorema de Pitàgores. Fixeu-vos si al vostre dibuix apareix un triangle rectangle que té dos costats coneguts i l’altre no.

Molta sort i pregunteu-me si teniu dubtes.

Àrees i Volums

Hi ha fa més de 15 anys, vaig preparar un full amb totes les fórmules de les àrees i els volums de les figures planes i dels cossos geomètrics perquè no m’agradava haver de cercar-les cada vegada que les necessitava. Sempre tenia un llibre on fer la cerca, però haver de passar els fulls cap a davant i cap arrere per a localitzar les unes i les altres era bastant tediós.

Per això, us deixe a la part de “Documents”, dintre de la carpeta, un arxiu PDF. També ho podeu descarregar prement en el següent enllaç: Àrees i Volums.

Haureu de tindre en compte el significat de cadascuna de les lletres que apareixen. De res servix aprendre’s les fórmules si no sabem que volen dir. Agafem com exemple el romboide:

Apareix a la fórmula la lletra "h". Aquesta lletra fa referència a la alçada de la figura. No n'és la hipotenusa ni qualsevol altra cosa. També hem de saber que la lletra "A" és l'àrea de la figura i la "B" es la mesura de la base. El dibuix t'ajudarà a entendre millor les fórmules.

Per acabar, com tot no pot ser tan fàcil, haure de cercar una àrea més: l'àrea del segment circular.
També haureu d'identificar almenys 4 figures planes o cossos geomètrics d'una foto de la Seu de València. Molta sort!

Sòlids platònics i Documents

He incorporat una secció anomenada “Documents”. Dins d’aquesta secció, vereu la imatge d’una carpeta. Si la premeu, accedireu a una carpeta meua de Google Drive on podreu trobar diferents arxius, com presentacions, activitats, vídeos i altres materials didàctics.

Entre tot aquest material, hi ha un arxiu PDF que he elaborat jo mateix. Es tracta dels desenvolupaments plans dels sòlids platònics. Què són els sòlids platònics? Doncs són els poliedres convexs que tenen totes les seues cares formades per polígons regulars i iguals, i també tenen els seus angles iguals. Només hi ha 5 i són: el tetraedre, el cub, el octàedre, el dodecaedre i el icosàedre. Sota aquestes línies podeu veure'ls

Què és un desenvolupament pla? És la forma d'un poliedre quan volem vore'l en un plànol bidimensional. 

L’activitat que haureu de fer consisteix a:

1. Descarregar l’arxiu anomenat “sòlid platònics.pdf” i imprimir-ho.
2. Després, amb unes tisores, retallareu els contorns dels desenvolupaments plans dels cossos geomètrics, doblegareu les arestes i les pestanyes.
3. Amb cola, untareu les pestanyes i pegareu les cares i les pestanyes fins a muntar els poliedres.
4. Utilitzeu-los per a comprovar la fórmula d’Euler (C + V = A + 2) que vam explicar al post d’ahir.

Podeu descarregar un vídeo per a veure com es fa prement ací.

Fórmula d'Euler

Fa uns dies, el 15 d’abril, es va celebrar el 310 aniversari del naixement de Leonhard Euler, matemàtic suís considerat com el més important del segle XVIII i amb més aportacions al món de les matemàtiques. La seua fórmula més famosa la podem trobar a la capçalera d’aquest blog. 

Però per a la nostra unitat didàctica, farem ús d’una altra més senzilla i també molt útil. Em refereix a la fórmula per a poliedres. Aquesta fórmula estableix una relació entre les cares, els vèrtexs i les arestes de qualsevol poliedre convex. Però repassem primer un parell de conceptes.

Què és un poliedre convex? És un poliedre que compleix la següent propietat: si unim amb un segment dos punts qualsevol del poliedre, aleshores aquest segment està contingut en el poliedre.

Poliedre còncau

Poliedre convex

Dit d'una manera més col·loquial, si té mossegades cap a dintre, és còncau, i si no, és convex.

Per si aneu despistats, recordarem també què és una aresta, un vèrtex i una cara.

Ara ja que ho tenim tot clar, vegem la fórmula:              C + V = A + 2

És a dir, el nombre de cares més el nombre de vèrtexs és igual al nombre d'arestes més 2. Podem comprovar com és vàlida per qualsevol poliedre convex. El cub de la imatge anterior té 6 cares, 8 vèrtexs i 12 arestes:

6 + 8 = 12 + 2        Es compleix!

També la pots utilitzar per a esbrinar quantes arestes (vèrtexs o cares) té un cos.

Cares = 20; Vèrtexs = 12    ->  20 + 12 = A + 2 -> 32 = A + 2 -> A = 30 arestes.

Prova-ho tu amb els següents poliedres:

Circumferència, el·lipse, paràbola i hipèrbola

Hi ha quatre corbes molt famoses que tots hem sentit parlar en alguna ocasió: la circumferència, l'el·lipse, la paràbola i la hipèrbola.
Però... Què tenen d'especial? Sabíeu que també se'ls crida "còniques"?
Supose que tothom coneixerà els cons...

Si ara agafem un plànol (imaginem-nos un full) i tallem aquest con de manera que el plànol siga paral·lel a la base del con, obtindrem una circumferència.

Si el plànol fa un tall inclinat, obtindrem una el·lipse.

Si el plànol talla al con de manera que també talla la base del con, aconseguim una paràbola.

Finalment, si el plànol talla perpendicularment al con, es té com a resultat la hipèrbola

Les diferents mesures dels cons (base i alçada) i les inclinacions dels plànols, donen com a resultat les diferents amplituds.

Podeu trobar més informació a la següent pàgina https://ca.wikipedia.org/wiki/C%C3%B2nica

A més, ací trobareu un videotutorial de com treballar amb GeoGebra i les còniques:

https://www.youtube.com/watch?v=9kaIhpM5Rc4

Espere que açò servisca per a conéixer millor el món de la Geometria. Feu-me arribar qualsevol

dubte i les vostres opinions.