Fórmula d'Euler

Fa uns dies, el 15 d’abril, es va celebrar el 310 aniversari del naixement de Leonhard Euler, matemàtic suís considerat com el més important del segle XVIII i amb més aportacions al món de les matemàtiques. La seua fórmula més famosa la podem trobar a la capçalera d’aquest blog. 

Però per a la nostra unitat didàctica, farem ús d’una altra més senzilla i també molt útil. Em refereix a la fórmula per a poliedres. Aquesta fórmula estableix una relació entre les cares, els vèrtexs i les arestes de qualsevol poliedre convex. Però repassem primer un parell de conceptes.

Què és un poliedre convex? És un poliedre que compleix la següent propietat: si unim amb un segment dos punts qualsevol del poliedre, aleshores aquest segment està contingut en el poliedre.

Poliedre còncau

Poliedre convex

Dit d'una manera més col·loquial, si té mossegades cap a dintre, és còncau, i si no, és convex.

Per si aneu despistats, recordarem també què és una aresta, un vèrtex i una cara.

Ara ja que ho tenim tot clar, vegem la fórmula:              C + V = A + 2

És a dir, el nombre de cares més el nombre de vèrtexs és igual al nombre d'arestes més 2. Podem comprovar com és vàlida per qualsevol poliedre convex. El cub de la imatge anterior té 6 cares, 8 vèrtexs i 12 arestes:

6 + 8 = 12 + 2        Es compleix!

També la pots utilitzar per a esbrinar quantes arestes (vèrtexs o cares) té un cos.

Cares = 20; Vèrtexs = 12    ->  20 + 12 = A + 2 -> 32 = A + 2 -> A = 30 arestes.

Prova-ho tu amb els següents poliedres: